Во-первых, возраст кролика? Во-вторых заводчики не рекомендуют давать животным различные палочки, слишком много химии там разной. Лучше все натуральное, корм, сено  - всегда, овощи  (например морковь, огурец, немного зелени), фрукты (яблоки, бананы, груши) сухарик белого хлеба  (1-2 раза в неделю) -и все это с 3-х месяцев.  Аллергия может быть не только на палочки, а также и на корм и на сено определенной фирмы. Убирайте все из клетки кроме корма и сена и смотрите на реакцию кролика. Если продолжится, то видимо надо будет менять питание. Если после прекращения давания палочек моча не поменяет цвет или будет понос - надо к врачу.  Какой фирмы у Вас корм и сено?

Нельзя так корма менять, обычно замена происходит так: в старый корм потихоньку добавляют  новый, с каждым днем постепенно увеличивая дозу. Если она не любит пресованную траву, то Вам, видимо подойдет Падован, против российских кормов я лично много чего имею, но если зайку он устраивает, то можно и их, главное не так интенсивно ей мешать корма.
У меня кролик мальчик тоже не ест морковь, зато девчонка уминает так, что за ушами трещит - дело вкуса, как говорится.
Моча такая, мне кажется от еды.
Поилку обязательно проверяйте каждый день, шарики часто застревают или поставьте мисочку с водой. Если зайка ведет себя как обычно, дышит нормально, активность нормальная, если  больше не кашляет, не чихает, нет выделений из носика, глазок, то не думаю что стоит беспокоиться по поводу того что она один раз кашлянула

Ну в первую очередь обратитесь к ветеринару,опытный специалист выяснит в чем причина